ECUACIONES E INECUACIONES CUADRÁTICAS CON VALOR ABSOLUTO

ECUACIONES CUADRÁTICAS CON VALOR ABSOLUTO

Para resolver ecuaciones cuadráticas con valor absoluto es necesario, aplicar la definición analítica del valor absoluto y revisar los resultados obtenidos aplicando los diferentes métodos.
El procedimiento es similar al de las ecuaciones lineales con la diferencia que en este caso las ecuaciones que resultan son cuadráticas y para resolverlas es necesario factorizarlas o utilizar la fórmula cuadrática.

Ejemplo 4: Hallar el valor de x:
x 2 - 9 = x + 3
3 Solución:
x2-9 es el argumento, entonces decimos que:

x 2 - 9 = x + 3		x 2 - 9 = - x + 3
x 2 - x - 1 2 = 0		x 2 - 9 = - x - 3
x - 4 x + 3 = 0		x 2 + x - 6 = 0
x = 4 x = - 3		x + 3 x - 2 = 0
		x = 2 x = - 3

Resolviendo cada ecuación, tenemos que: x=4, x=-3 y x=2
Reemplazando cada valor de x en la ecuación original tenemos:

x 2 - 9 = x + 3	x 2 - 9 = x + 3	x 2 - 9 = x + 3
4 2 - 9 = 4 + 3	- 3 2 - 9 = - 3 + 3	2 2 - 9 = 2 + 3
1 6 - 9 = 7	9 - 9 = 0	4 - 9 = 5
7 = 7	0 = 0	- 5 = 5
7 = 7	0 = 0	5 = 5

Los 3 valores de x hallados satisfacen la ecuación original, entonces concluimos que las soluciones de la ecuación son: 4, -3 y 2.
EJERCICIOS:
http://calculo.cc/Problemas/Problemas_bachillerato/primero_ciencias_sociales/ecuaciones/ecuaciones_valor_abs.html


INECUACIONES CUADRÁTICAS CON VALOR ABSOLUTO
http://www.todoexpertos.com/categorias/ciencias-e-ingenieria/matematicas/respuestas/my58nx5p1djiw/desigualdades-o-inecuaciones-de-segundo-grado-con-valor-absoluto


Método para resolver inecuaciones con Valor Absoluto

Para resolver una inecuación que contiene valor absoluto, se siguen los siguientes pasos:

1. Aislar la expresión con valor absoluto a un lado de la inecuación.
2. Hallar los intervalos de prueba. Esto se logra resolviendo la ecuación que resulta de cambiar el signo de desigualdad por el signo de igualdad. La solución de dicha ecuación determina los límites de los intervalos en la recta numérica.
3. Seleccionar un punto de prueba en cada intervalo para determinar el signo en cada intervalo.
4. La solución la conforman todos los intervalos que hacen que la desigualdad sea cierta. La solución se puede expresar de distintas formas:

• Como intervalo
• Como conjunto
• Gráficamente                                     

EJERCICIOS:

http://quiz.uprm.edu/tutorials_master/Abs_Ineq/abs_ineq_home.html

SISTEMA DE ECUACIONES CUADRÁTICAS
Son ecuaciones de segundo grado aquellas en las que la incógnita aparece al menos una vez elevada al cuadrado (x²). Por ejemplo: 3x² - 3x = x - 1.

Resolución gráfica.
Veamos cómo resolverla gráficamente:La expresión del primer miembro de la ecuación inicial del apartado anterior, una vez simplificada, corresponde a una función cuadrática, que para el ejemplo anterior corresponde a : f(x) = 3x2- 4x + 1 ó y = 3x2- 4x + 1.
	Como puede verse la gráfica corresponde a una curva que se llama "parábola".En este caso la parábola corta al eje de abscisas (X) en dos puntos; los valores de la abscisa "x" de dichos puntos serán la solución de la ecuación ya que para ellos y = 0 o sea: 3x2 - 4x + 1 = 0 que es lo que deseábamos.
	Busca dichos valores de x moviendo el punto destacado sobre la curva y observa cómo van cambiando los valores de x. También los puedes ver en la parte inferior de la escena.
Por tanto: la solución de una ecuación de segundo grado es la "x" de los puntos de corte de la gráfica (parábola que se obtiene de la ecuación), con el eje de abscisas (X). Seguro que habrás obtenido como soluciones: x = 1 y x = 0,33 (en realidad x = 1/3). A las soluciones de la ecuación, también se les llama "raíces" de la ecuación.

http://148.206.107.15/biblioteca_digital/capitulos/111-2743jve.pdf

EJERCICIOS:

http://www.vitutor.com/ecuaciones/2/ecu_Actividades.html

INECUACIONES VARIABLES CON DOS VARIABLES 

Las inecuaciones cuadráticas con dos variables solamente se puedes resolver gráficamente.

Gráfica de una inecuación :

La solución a este sistema es la intersección de las regiones que corresponden a la solución de cada inecuación.

Tomemos como ejemplo la inecuación:

Transformamos la desigualdad en igualdad.

2x + y = 3

Damos a una de las dos variables dos valores, con lo que obtenemos dos puntos.

x = 0;     2 · 0 + y = 3;   y = 3;          (0, 3)

x = 1;     2 · 1 + y = 3;   y = 1;          (1, 1)

Al representar y unir estos puntos obtenemos una recta.

Tomamos un punto, por ejemplo el (0, 0), los sustituimos en la 

desigualdad. Si se cumple, la solución es el semiplano donde 

se encuentra el punto, si no la solución será el otro semiplano.

2x + y ≤ 3

2 · 0 + 0 ≤ 3       0 ≤ 3      Sí

2º Representamos la región solución de la segunda inecuación.

x + y = 1

x = 0;      0 + y = 1;   y = 1;          (0, 1)

x = 1;      1 + y = 1;   y = 0;          (1, 0)

;

x + y ≥ 1

0 + 0 ≥ 1      No

3º La solución es la intersección de las regiones soluciones.

video :

INECUACIONES CUADRÁTICAS

Una inecuación cuadrática es una inecuación de la forma:

a x 2 + b x + c < 0

o cualquier expresión de la forma anterior que, en lugar del símbolo < incluya cualquier otro símbolo de desigualdad: > , ≤ o ≥.



RESOLUCION:
Paso 1. Transforma la inecuación en un trinomio f(x) en el lado izquierdo y deja el 0 en el lado derecho.

• Ejemplo. La inecuación x(6x + 1) < 15 se convertirá en un trinomio de x: f(x) = 6x² + x - 15 < 0.

Paso 2. Resuelve la ecuación cuadrática para obtener raíces reales. Puedes utilizar cualquiera de estos métodos. En general, una ecuación cuadrática tiene cero, una o dos raíces reales.

• Usa la fórmula cuadrática (funciona siempre)
• Factoriza (si las raíces son racionales)
• Completa los cuadrados (funciona siempre)
• Grafica (es una aproximación)
• Usa el método de las sumas diagonales (es un atajo para factorizar)

Paso 3. Resuelve la inecuación cuadrática, basándote en los valores de las dos raíces reales.

• Puedes elegir cualquiera de los dos métodos siguientes:
• Método 1. Usar el método de la recta numérica y el punto de prueba. Las dos raíces reales se dibujan sobre una recta numérica. Estas raíces dividen a la recta en un segmento y dos tramos. Siempre utiliza el origen O como punto de prueba. Reemplaza x = 0 en la inecuación cuadrática dada. Si ésta es cierta, entonces el origen está ubicado en el segmento que verifica la inecuación (o en el tramo que verifica la inecuación).
• Nota. Con este método, puedes utilizar una recta numérica doble, o incluso triple, para resolver sistemas de 2 o 3 inecuaciones cuadráticas en una sola variable.
• Método 2. Usar el teorema del signo de f(x) si eliges el método algebraico. Los estudiantes estudian una vez el desarrollo del teorema y luego lo aplican para resolver diversas inecuaciones cuadráticas.
• Teorema del signo de f(x):
• Entre las 2 raíces reales, f(x) tiene signo opuesto a a. Esto significa que:
• Entre las 2 raíces reales, f(x) es positivo si a es negativo
• Entre las 2 raíces reales, f(x) es negativo si a es positivo.
• Puedes comprender este teorema observando las intersecciones del gráfico de la parábola de la función f(x) y el eje x. Si a es positivo, la parábola abre hacia arriba. Entre las dos intersecciones con el eje x, una parte de la parábola está por debajo del eje x, lo que significa que f(x) es negativa para este intervalo (signo opuesto a a).
• Este método puede resultar más rápido que el de la recta numérica ya que no requiere dibujar la recta numérica cada vez que lo utilizas. Además, ayuda a realizar una tabla de signos para resolver sistemas de inecuaciones cuadráticas utilizando el método algebraico. 

Paso 4. Expresa la solución (o el conjunto solución) en forma de intervalos.

• Ejemplos de intervalos:
• (a, b), intervalo abierto, los dos extremos a y b no están incluidos
• [a, b], intervalo cerrado, los dos extremos están incluidos
• (-infinito, b], intervalo semicerrado, el extreme b está incluido.
  • Nota 1. Si la ecuación cuadrática no tiene raíces reales, (el discriminante D < 0), f(x) siempre es positivo (o siempre es negativo) dependiendo del signo de a, lo que quiere decir que la solución será el conjunto vacío o toda la recta numérica real. Si el discriminante es igual a cero (es decir, la ecuación cuadrática tiene una raíz doble), entonces la solución puede ser el conjunto vacío, un solo punto, todos los números reales excepto un solo punto, o todos los números reales.
• Ejemplo: Resuelve f(x) = 15x^2 - 8x + 7 > 0.
• Solución. El discriminante D = b² - 4ac = 64 - 420 < 0. No existen raíces reales. Ya que a es positivo, f(x) siempre es positiva (> 0) sin importar el valor de x. La inecuación siempre es verdadera.
• Ejemplo: Resuelve f(x) = -4x^2 - 9x - 7 > 0.
• Solución. El discriminante D = 81 – 112 < 0. No existen raíces reales. Ya que aes negativo, f(x) siempre es negativa, sin importar el valor de x. La inecuación siempre es falsa.
• Nota 2. Cuando la inecuación tiene un signo igual (=) adicional (mayor o igual a, menor o igual a), utiliza intervalos cerrados como [-4,10] para indicar que los dos extremos están incluidos en el conjunto solución. Si la inecuación únicamente tiene signos de mayor a o menor a utiliza intervalos abiertos como (-4,10) ya que los extremos no están incluidos.

EJERCICIO:

GRAFICACIÓN:

LINKS:

http://www.vitutor.com/ecuaciones/ine/s_e.html

http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/4esomatematicasB/inecuaciones/impresos/quincena5.pdf

SISTEMAS CUADRÁTICOS

Se llama sistema de ecuaciones de segundo grado, o ecuaciones cuadráticas, a todo aquel en el que aparece al menos una ecuación de orden 

2. Los sistemas de ecuaciones de segundo grado son de tipo no lineal, y para su resolución se usan los procedimientos aplicados en los sistemas de primer grado o lineales (ver t6). Considerando que el sistema estuviera formado por dos ecuaciones: 
• Por igualación, se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones y se igualan los resultados. En la ecuación resultante (que puede ser de segundo grado, bicuadrada o irracional), se obtienen las raíces de la segunda incógnita, que se sustituyen en cualquiera de las ecuaciones originales para hallar las soluciones de la otra incógnita. 
• Por sustitución, se despeja una incógnita en una ecuación y se sustituye en la otra. Se resuelve entonces la ecuación resultante (cuadrática, bicuadrada o irracional) y se calculan las raíces. 
• Por reducción, se multiplican las ecuaciones por coeficientes o por las variables hasta conseguir que la suma (o resta) de las dos ecuaciones equivalentes que resultan permita anular una de las incógnitas. Se resuelve después la ecuación (cuadrática, bicuadrada o irracional) resultante, y se calculan las raíces. 


  Antes de comenzar a resolver estos sistemas es necesario mencionar un concepto sumamente importante

Ecuaciones de 2º grado

Una ecuación de segundo grado es toda expresión de la forma: ax2 + bx +c = 0    con    a ≠ 0

Se resuelve mediante la siguiente fórmula:  

Ahora si, retomamos la explicación:

   La resolución de estos sistemas se suele hacer por el método de sustitución, para ello seguiremos los siguientes pasos:


1º Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones, preferentemente la de primer  grado

2º Se sustituye el valor de la incógnita despejada en la otra ecuación

3º Se resuelve la ecuación resultante.

4º Cada uno de los valores obtenidos se sustituye en la otra ecuación, se obtienen así los   valores correspondientes de la otra incógnita

   Apliquemos lo antes mencionado a un ejemplo concreto

1º Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones, preferentemente en la de primer grado.

     y = 7 − x

2º Se sustituye el valor de la incógnita despejada en la otra ecuación.

3º Se resuelve la ecuación resultante.  (En el lado derecho se muestran los cálculos auxiliares) 

4º Cada uno de los valores obtenidos se sustituye en la otra ecuación, se obtienen así los valores correspondientes de la otra incógnita.

EJERCICIO:

y = 7 − x

x² + (7 − x)² = 25

x² + 49 − 14x + x² = 25

2x² − 14x + 24 = 0

x² − 7x + 12 = 0


x = 3           y = 7 − 3        y = 4


x = 4           y = 7 − 4        y = 3

LINKS:
http://www.vitutor.com/ecuaciones/2/n_e.html
http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/4esomatematicasB/ecuaciones/impresos/quincena4.pdf (PAG. 63)

POSICIONES RELATIVAS ENTRE UNA RECTA Y UNA PARÁBOLA

Desde un punto de vista geométrico, las ecuaciones lineales representan rectas y las ecuaciones cuadráticas representan parábolas.

Las soluciones de los sistemas así formados representan la intersección o intersecciones de una recta y una parábola en un plano.

http://archive.geogebra.org/en/upload/files/mluisamh/FUNCIONES/CUADRATICA/7.%20Posicionparabolarecta.pdf

Hallar la ecuación de la parábola de eje vertical y que pasa por los puntos: A(6, 1), B(-2, 3), C(16, 6).

Determina la ecuación de la parábola que tiene por directriz la recta: y= 0 y por foco el punto (2, 4).

Calcular la posición relativa de la recta r ≡ x + y - 5 = 0 respecto a la parábola y² = 16 x.

LINKS:

http://www.vitutor.com/geo/coni/p_e.html
http://miguelmultimediayweb20.blogspot.com/2011/12/asdfasdf.html