MATEMÁTICA 1° BGU

INECUACIONES CUADRÁTICAS

Una inecuación cuadrática es una inecuación de la forma:

a x 2 + b x + c < 0

o cualquier expresión de la forma anterior que, en lugar del símbolo < incluya cualquier otro símbolo de desigualdad: > , ≤ o ≥.

RESOLUCION:
Paso 1. Transforma la inecuación en un trinomio f(x) en el lado izquierdo y deja el 0 en el lado derecho.

Ejemplo. La inecuación x(6x + 1) < 15 se convertirá en un trinomio de x: f(x) = 6x² + x - 15 < 0.

Paso 2. Resuelve la ecuación cuadrática para obtener raíces reales. Puedes utilizar cualquiera de estos métodos. En general, una ecuación cuadrática tiene cero, una o dos raíces reales.

Usa la fórmula cuadrática (funciona siempre)
Factoriza (si las raíces son racionales)
Completa los cuadrados (funciona siempre)
Grafica (es una aproximación)
Usa el método de las sumas diagonales (es un atajo para factorizar)

Paso 3. Resuelve la inecuación cuadrática, basándote en los valores de las dos raíces reales.

Puedes elegir cualquiera de los dos métodos siguientes:

Método 1. Usar el método de la recta numérica y el punto de prueba. Las dos raíces reales se dibujan sobre una recta numérica. Estas raíces dividen a la recta en un segmento y dos tramos. Siempre utiliza el origen O como punto de prueba. Reemplaza x = 0 en la inecuación cuadrática dada. Si ésta es cierta, entonces el origen está ubicado en el segmento que verifica la inecuación (o en el tramo que verifica la inecuación).
Nota. Con este método, puedes utilizar una recta numérica doble, o incluso triple, para resolver sistemas de 2 o 3 inecuaciones cuadráticas en una sola variable.
Método 2. Usar el teorema del signo de f(x) si eliges el método algebraico. Los estudiantes estudian una vez el desarrollo del teorema y luego lo aplican para resolver diversas inecuaciones cuadráticas.

Teorema del signo de f(x):

Entre las 2 raíces reales, f(x) tiene signo opuesto a a. Esto significa que:
Entre las 2 raíces reales, f(x) es positivo si a es negativo
Entre las 2 raíces reales, f(x) es negativo si a es positivo.
Puedes comprender este teorema observando las intersecciones del gráfico de la parábola de la función f(x) y el eje x. Si a es positivo, la parábola abre hacia arriba. Entre las dos intersecciones con el eje x, una parte de la parábola está por debajo del eje x, lo que significa que f(x) es negativa para este intervalo (signo opuesto a a).
Este método puede resultar más rápido que el de la recta numérica ya que no requiere dibujar la recta numérica cada vez que lo utilizas. Además, ayuda a realizar una tabla de signos para resolver sistemas de inecuaciones cuadráticas utilizando el método algebraico.

Paso 4. Expresa la solución (o el conjunto solución) en forma de intervalos.

Ejemplos de intervalos:
(a, b), intervalo abierto, los dos extremos a y b no están incluidos
[a, b], intervalo cerrado, los dos extremos están incluidos
(-infinito, b], intervalo semicerrado, el extreme b está incluido.
- Nota 1. Si la ecuación cuadrática no tiene raíces reales, (el discriminante D < 0), f(x) siempre es positivo (o siempre es negativo) dependiendo del signo de a, lo que quiere decir que la solución será el conjunto vacío o toda la recta numérica real. Si el discriminante es igual a cero (es decir, la ecuación cuadrática tiene una raíz doble), entonces la solución puede ser el conjunto vacío, un solo punto, todos los números reales excepto un solo punto, o todos los números reales.
Ejemplo: Resuelve f(x) = 15x^2 - 8x + 7 > 0.
Solución. El discriminante D = b² - 4ac = 64 - 420 < 0. No existen raíces reales. Ya que a es positivo, f(x) siempre es positiva (> 0) sin importar el valor de x. La inecuación siempre es verdadera.
Ejemplo: Resuelve f(x) = -4x^2 - 9x - 7 > 0.
Solución. El discriminante D = 81 – 112 < 0. No existen raíces reales. Ya que aes negativo, f(x) siempre es negativa, sin importar el valor de x. La inecuación siempre es falsa.

Nota 2. Cuando la inecuación tiene un signo igual (=) adicional (mayor o igual a, menor o igual a), utiliza intervalos cerrados como [-4,10] para indicar que los dos extremos están incluidos en el conjunto solución. Si la inecuación únicamente tiene signos de mayor a o menor a utiliza intervalos abiertos como (-4,10) ya que los extremos no están incluidos.

EJERCICIO: